Question

已知函数y=log1/a(a^x）*loga^(1/ ax)(2≤x≤4) 的最大值为0，最小值为-1/8，求a的值

Answer 1

解:y=(log1/a(a^2)+log1/a(x))*(log1/a^2(a)+log1/a^2(x))
=[-(2+loga(x))]*[-(1/2+1/2loga(x))]
=1/2(loga(x))^2+3/2loga(x)+1
令t=loga(x)
则y=(1/2)t^2+(3/2)t+1，为t的二次函数，
-b/2a=-3/2 ，(4ac-b^2)/4a=-1/8
画出y--t图象（自己画下吧），图象开口向上，当-1/8<=y<=0时，-2<=t<=-1
当y=0时，0=(1/2)t^2+(3/2)t+1，解得t1=-1,t2=-2
(1)loga(x)=-1,x=2
则a=1/2
当t=loga(4)=-2时，y=0，符合题意
(2)loga(x)=-1,x=4
则a=1/4
当t=loga(2)=-1/2时，y>0，不合题意
(3)loga(x)=-2,x=2
则a=1/sqrt(2) (sqrt是开方)
当t=loga(4)=-4时，y>0，不合题意
(4)loga(x)=-2,x=4
则a=1/2
当t=loga(2)=-1时，y=0，符合题意

综上所述，a=1/2

Answer 2

y=log(1/a,a^x)×log(a^2,1/ax)（前一个是底，后一个是真数）
=log(a,a^x)/log(a,1/a)×log(a,1/ax)/log(a,a^x)（换底公式）
=x/(-1)×[-1+log(a,1/x)]/x
=1-log(a,1/x)
其中2≤x≤4，y最大值为0，最小值为-1/8。
显然，y是单调函数，
（1）若x=2时，y=0，则
1=log(a,1/2)，a=1/2；
（2）若x=4时，y=0，则
1=log(a,1/4)，a=1/4；
但对应的，x=2时，y=1-log(1/4,1/2)=1-1/2=1/2≠-1/8
故a=1/4舍去。