Question

已知函数fx =(x-a)lnx

若函数在（0，+无穷）上为增函数，求a的取值范围

Answer 1

f'(x)=lnx+(x-a)/x≥0

xlnx+x≥a

设g(x)=xlnx+x，x>0

g'(x)=2+lnx

当x∈(0,1/e&#178;)时，g'(x)<0，g(x)单调递减；

当x∈(1/e&#178;,+∞)时，g'(x)>0，g(x)单调递增

所以g(x)min=g(1/e&#178;)=-1/e&#178;

所以a≤-1/e&#178;

Answer 2

fx =(x-a)lnx
f'(x)=lnx+(x-a)/x
函数在（0，+无穷）上为增函数

∴f'(x)=lnx+(x-a)/x>=0
lnx+1-a/x>=0
lnx +1>=a/x
∵x>0
∴xlnx+x>=a
设g(x)=xlnx+x
g'(x)=lnx+1+1=lnx +2
令g'(x)>=0
∴lnx>=-2
x>=1/e²
∴g(x)增区间是[1/e²,+∞)减区间是(0,1/e²]
∴g(X)最小值=g(1/e²)=-1/e²
∴a<=-1/e²
a的取值范围a<=-1/e²
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Answer 3

f'(x) =(x-a)/x+lnx=lnx+1-a/x>0
a<x(lnx+1)
令g(x)=x(lnx+1)
g'(x)=lnx+1+x/x=lnx+2=0
x=1/e^2时，y取得最小值g(1/e^2)=-1/e^2
所以a<-1/e^2