Question

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+y2/b2=1（0＜b＜1）的左焦点为F，左、右顶点分别为

在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆x2+y2/b2=1（0＜b＜1）的左焦点为F，左、右顶点分别为A、C上顶点为B，过B、C、F三点作圆P。（l）若线段CF是圆P的直径，求椭圆的离心率。（2）若圆P的圆心在直线上x+y=0上，求椭圆的方程

Answer 1

(1)
根据题意：a=1,c=√(1-b^2)
A(-1,0),C(1,0)，B(0,b),F(-c,0),
若CF是圆P的直径，则
BF⊥BC
那么|BF|^2+|BC|^2=|FC|^2
a^2+a^2+b^2=(1+c)^2
3a^2-c^2=1+2c+c^2
∴c^2+c-1=0
解得c=(√5-1)/2
即e=c/a=(√5-1)/2
（2）
P在直线x+y=0上，设P(t,-t)
由|PF|=|PC|得2 t=1-c ①
又 |PC|=|PB|
∴t^2+(-t-b)^2=(1-t)^2+t^2
∴2bt+b^2=1-2t ②

∴b^2+b=(1+b)c
∴ b(b+1)=(b+1)c
∴b=c
那么b^2+c^2=2b^2=1
∴b^2=1/2
那么椭圆方程为x^2+2y^2=1