Question

椭圆的数学题（急！）

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的长轴两端点为A、B
过一焦点F作垂直于长轴的弦PP’，当tan∠APB=120°，求C的离心率。
对不起，打错了！！！

tan∠APB=-2√3 另外将∠APF与∠BPF的正切分别表示出来 ∠APF与∠BPF的正切表示出来是什么？

Answer 1

正如楼上所说的。

tan∠APF=AF/PF
tan∠BPF=BF/PF

F(-c,0)

x=-c时 c^2/a^2+y^2/b^2=1

y^2/b^2=b^2/a^2

y=b^/a 即为PF

同时AF=a-c
BF=a+c

tan∠APF=AF/PF=(a-c)/[b^/a]
tan∠BPF=BF/PF=(a+c)/[b^/a]

tan∠APB=tan(∠APF+∠BPF)
=（tan∠APF+tan∠BPF)/（1-tan∠APF*tan∠BPF）
=[2a^2/b^2]/[1-(a^4-a^2c^2)/b^4]
=-2√3
即：a^2b^2/(a^4-a^2c^2-b^4)=√3

由于b^4=(a^2-c^2)^2=a^4+c^4-2a^2c^2

即(a^4-a^2c^2)/(a^2c^2-c^4)=√3
a^2(a^2-c^2)/c^2(a^2-c^2)=√3

故a^2/c^2=√3

e=c/a=1/四次根号下3

话说：这种圆锥曲线其实不难算，计算能力是一，其次是要强调数图结合，不要单纯的死算。。题多做些就会熟很多，我也这么来的。。。

以上

Answer 2

思路：
将∠APF与∠BPF的正切分别表示出来，用a,b,c表示（在直角三角形中哦）
然后利用tan(∠APF＋∠BPF）＝－√3＝……，呵呵，用两角和的正切公式
这样你就可以获得一个关于a，b，c的方程了，整理一下，两边同除以a^2，b用a，c表示，就可以求出离心率了。