Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如4=2^2一0^2,1

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“神秘数”,如4=2^2一0^2,12=4^2一2^2,20=6^2一4^2,因此4,12,20都是”神秘数”。(1)28和2012这两个数是”神秘数”吗?为什么?(2)设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗?为什么?(3)两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数”吗?为什么？

Answer 1

⑴28和2012这两个数是神秘数
∵依题设较小的偶数为x，较大的则为x+2
有（x+2）²-x²=28
解得当差为28是，x=6，所以另一个偶数是x+2=8；
∴8²-6²=64-36=28
∵当（x+2）²-x²=2012，
解得x=,502，另一个偶数,504
∴ 504²-502²=2012

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
∵（2k+2）²-（2k）²
=8k+4
=4（2k+1）
所以设两个连续偶数为2k+2和2k(其中k取非负整数)，由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数。
（3）两个连续奇数的平方差(取正数)是“神秘数。
∵设较小的奇数为x，较大的则为x+2。
（x+2）²-x²=神秘数（x+2为较大的奇数）成立，比如8是3和1的神秘数：3²-1²=8；16是5和3的神秘数：5²-3²=16；等等。

Answer 2

设2k是任意偶数，则(2k+2)^2-(2k)^2=8k+4=4(2k+1) 所以能写成该形式的都是神秘数

1. 28=4*(2*3+1)=8^2-6^2，2012=4*(2*251+1)=504^2-502^2所以都是神秘数

2. 因为构成的神秘数是4(2k+1)所以是4的倍数

3. 由上一问知道神秘数都是4的奇数倍，而(2k+1)^2-(2k-1)^2=8k=4*(2k)是4的偶数倍所以不是神秘数