Question

已知a,b,c是三角形ABC的三边，求证：（a²+b²-c²）²-4a²b²<0

（a²+b²-c²）²-4a²b²<0

Answer 1

(a²+b²-c²)²-4a²b²
=(a²+b²-c²)^2-(2ab)²
=(a²+2ab+b²-c²)(a²-2ab+b²-c²)
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

边长大于0，a+b+c>0，

三角形两边之和大于第三边，
所以：
a+b>c，
a+b-c>0，

同理，a+c-b>0，
b+c>a，
a-b-c<0，

三正一负，所以相乘小于0，

即证：（a²+b²-c²）²-4a²b²<0

Answer 2

（a²+b²-c²）²-4a²b²
=（a²+b²-c²）²-（2ab）²
=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-c²-2ab）
=[(a+b)²-c²][(a-b)²-c²]
=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)
∵a，b，c是三角形的三边，且三角形两边和大于第三边
∴a+b+c>0
a+b-c>0
a-b+c>0
a-b-c<0
∴(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)<0
∴（a²+b²-c²）²-4a²b²<0