Question

一道函数题

设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x^2,若对任意的x∈[t,t+2],不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是
guojingrui12 的答案明显不对哦，只有当x≥0时f(x)=x^2才成立

Answer 1

楼上的
这个是最基本的分类讨论的= =。。。。
1）设 t> 0 , 由 f(x+t）>= 2f(x) ,有 (x+t)^2 >= 2x^2/x+t/ >= (√2)*/x/ ①解得 x >= [(√2)-1]*tx=t 时，① 可写成/t+t/ >= (√2)*/t/即不等式① 恒成立x=t＋2 时，① 可写成/t+2＋t/ >= (√2)*/t＋2/解得 t >= √2由于在区间[0,+∞)内f(x)严格单调增大， 故 t >= √2 时， 不等式 f(x+t）大于等于2f(x)恒成立
2）设 t<0, t+2>0, 即 -2 < t < 0 , 当 t <= x < 0 时，由 f(x+t）>= 2f(x) ,有 -(x+t)^2 >= -2x^2/x+t/ <= (√2)*/x/ ② x=t 时，① 可写成/t+t/ <= (√2)*/t/上式不成立，故这时不等式① 不成立故 t 不能位于（－2，0）
3）设 t>= -2 当 t <= x < t+2 时，由 f(x+t）>= 2f(x) ,有 -(x+t)^2 >= -2x^2/x+t/ <= (√2)*/x/ ③x=t 时，① 可写成/t+t/ <= (√2)*/t/上式不成立，故这时不等式① 不成立故 t 不能位于（－∞ , -2
]综上所述， t >= √2 ，即 t 属于[√2, +∞ )

Answer 2

(x+t)^2≥2x^2
x^2+2xt+t^2≥2x^2
0≥x^2-2xt-t^2
因 x^2-2xt-t^2的对称轴为 x=t
所以当x=t+2 时 x^2-2xt-t^2 最大
（t+2)^2-2(t+2)t-t^2≤0
t∈[－∞，-2]∪[1，+∞]

Answer 3

原函数为奇函数 在x≤0的时候函数表达式为f（x）=-x²