Question

高中数学三角函数三道题

1.函数y=sinxcosx+sinx+cosx的值域为？
2.函数y=cos(2x/5)+sin(2x/5)的图像的相邻两条对称轴之间的距离是？
3.已知：0<a,b<л/2,且3sinb=sin(2a+b),4tan(a/2)=1-〔tan(a/2)〕的平方，则，a+b=？
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要有过程

Answer 1

解：（1）y=sinxcosx+sinx+cosx
令t= sinx+cosx=√2sin(x+∏/4)，∴t∈[-√2, √2]
则，t^2=(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx
则,sinxcosx=(t^2-1)/2
∴y=t+(t^2-1)/2=(1/2)t^2+t-(1/2)
令y=g(t)= (1/2)t^2+t-(1/2), t∈[-√2, √2]
对称轴是t=-1，开口向上
∴最大值y=g(√2)= (1/2)( √2)^2+√2-(1/2)
=√2+1/2
最小值y=g(-1)= (1/2)( -1)^2+(-1)-(1/2)
=-1
所以,值域是[-1, √2+1/2]

(2) y=cos(2x/5)+sin(2x/5)= √2sin[(2x/5)+∏/4]
∴最小正周期是T=2∏/(2/5)=5∏
∴相邻两条对称轴之间距离是d= T/2=5∏/2

(3) ∵4tan(a/2)=1-〔tan(a/2)〕^2
∴2tan(a/2)/{1- [tan (a/2)]^2}=1/2
∴tana=2tan(a/2)/{1- [tan (a/2)]^2}=1/2
又∵0<a<л/2，且 sina/cosa=tana,(sina)^2+(cosa)^2=1
∴sina=√5/5,cosa=2√5/5
∴sin2a=2sinacosa=4/5，cos2a=3/5
又∵3sinb=sin(2a+b)=sin2acosb+sinbcos2a
3sinb=(4/5)cosb+(3/5)sinb
化简，得
12sinb=4cosb
∴tanb=sinb/cosb=1/3
∴tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)
=[(1/2)+(1/3)]/[1-(1/6)]
=1
∴a+b=∏/4

Answer 2

1.设 t=sinx+cosx 则-sqr(2)<t<sqr(2)

原式＝（t^2-1)/2+t 再用二次函数的求解方法求解

2. y=3^0.5cos(2x/5)+sin(2x/5)
=2(sin(pi/3)cos(2x/5)+cos(pi/3)sin(2x/5))
=2sin(2x/5+pi/3)
2x/5+pi/3=kpi+pi/2为函数的对称轴
即x=(5/2)kpi+(5/12)pi
其中k为整数
则相邻两对称轴的距离为(5/2)pi

3.4tan(a/2)=1-tan(a/2)得 2tan(a/2)/(1-tan(a/2))=1/2
tan(a)=1/2
4sinb=sin(2a+b)+sinb=2sin(a+b)cos(a)
2sinb=sin(2a+b)-sinb=2cos(a+b)sin(a)
相除得2tan(a)=tan(a+b)=1 a+b=π/4

很乐意为你解答。

Answer 3

第一题，设sinx+cosx为T，就能做了

Answer 4

1. 设t=sinx+cosx,则-√2<=t<=√2,于是y =(t^2 -1)/2 +t,
-1 <= y <= 1/2+√2.
2. 周期为5л，相邻两条对称轴之间的距离为半个周期5π/2.
3.由0<a,b<л/2，得0<a/2<л/4, 0<a+b<л,
因为 4tan(a/2)=1-〔tan(a/2)）^2,解得tan（a/2）=√5 -2 ,根据倍角公式，得tana=1/2.
又因为 3sinb=sin(2a+b),得3sin[(a+b)-a]=sin[(a+b)+a],展开，得
tan(a+b)=2tana=2*1/2=1,所以a+b=π/4.

Answer 5

见下图，我的计算有很大可能出错，本人向来以幼稚计算错误闻名于世，但思路应该没错