Question

高一不等式的证明题

已知a+b+c=1 证明
(1)a2+b2+c2>=1/3
（2）1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
(3)√（4a+1）+√（4b+1）+√（4c+1）<=√21
(4)1/a+2/b+4/c>=18

Answer 1

（1）证明：由柯西不等式：
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1
所以a^2+b^2+c^2>=1/3
(2)证明：左右都乘以2，得2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c)≥9，2用（a+b)+(b+c)+(a+c)代替即可
（3）证明：先猜想等号成立条件，条件是：当4a+1=7/3
即a=1/3=b=c时等号成立
现在每个根号里都乘以7/3，先看第一个根式
根号[（4a+1）*(7/3)]<=(4a+1+(7/3))/2 =2a+(5/3) (均值不等式)
所以根号（4a+1）<=[根号(3/7)]*(2a+5/3)
同理，三式相加得到
原式<=[根号(3/7)][2(a+b+c)+(3*5/3)]=√21
(4)证明：
原式>=3*立方根下[（1*2*4）/(abc)]=6立方根下(1/abc)
即证：1/abc>=27
即证明abc<=1/27
由于abc<=(a+b+c)^3/27 =1/27 (这是均值不等式)
因此原题得证
做这种题目一定要认真去联想自己学过的一些基础知识，对于有≥或≤的题目，可以氙计算出等号成立条件之后下笔