高一不等式的证明题

已知a+b+c=1证明(1)a2+b2+c2>=1/3(2)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2(3)√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)<... 已知a+b+c=1 证明
(1)a2+b2+c2>=1/3
(2)1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)>=9/2
(3)√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)<=√21
(4)1/a+2/b+4/c>=18
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2010-08-09 · TA获得超过1593个赞
知道小有建树答主
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(1)证明:由柯西不等式:
(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)>=(a+b+c)^2=1
所以a^2+b^2+c^2>=1/3
(2)证明:左右都乘以2,得2/(a+b)+2/(b+c)+2/(a+c)≥9,2用(a+b)+(b+c)+(a+c)代替即可
(3)证明:先猜想等号成立条件,条件是:当4a+1=7/3
即a=1/3=b=c时等号成立
现在每个根号里都乘以7/3,先看第一个根式
根号[(4a+1)*(7/3)]<=(4a+1+(7/3))/2 =2a+(5/3) (均值不等式)
所以根号(4a+1)<=[根号(3/7)]*(2a+5/3)
同理,三式相加得到
原式<=[根号(3/7)][2(a+b+c)+(3*5/3)]=√21
(4)证明:
原式>=3*立方根下[(1*2*4)/(abc)]=6立方根下(1/abc)
即证:1/abc>=27
即证明abc<=1/27
由于abc<=(a+b+c)^3/27 =1/27 (这是均值不等式)
因此原题得证
做这种题目一定要认真去联想自己学过的一些基础知识,对于有≥或≤的题目,可以氙计算出等号成立条件之后下笔
11111
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