Question

若方程x^2-3x-1=0的两根也是方程x^4+ax^2+bx+c=0的根，则

若方程x^2-3x-1=0的两根也是方程x^4+ax^2+bx+c=0的根，则a+b-2c的值为（ ）
A.-13 B.-9 C.-6 D.0

Answer 1

假设是m和n
则m²-3m-1=0
m²=3m+1
所以m^4=(3m+1)²
m^4=9m²+6m+1
m^4=9(3m+1)+6m+1
m^4=33m+10

x=m代入x^4+ax^2+bx+c=0
m^4+am²+bm+c=0
33m+10+a(3m+1)+bm+c=0
(3a+b+33)m+(a+c+10)=0
恒成立
所以3a+b+33=0 (1)
a+c+10=0 (2)
(1)-(2)×2
3a+b+33-2a-2c-20=0
a+b-2c=-13

追问

请问
(3a+b+33)m+(a+c+10)=0
恒成立
所以3a+b+33=0 (1)
a+c+10=0 (2)
这里是怎么得出来的？

追答

无论m取何值，等式(3a+b+33)m+(a+c+10)=0恒成立
必须m的系数为零，即3a+b+33=0，此时a+c+10=0

追问

不好意思，我还是有疑问。
(3a+b+33)m+(a+c+10)=0
m的系数为0 得出a+c+10=0

但是如果系数不是0 (3a+b+33)m=-(a+c+10) 有没有别的情况呢？ 比如-5=-(5)
(3a+b+33)m+(a+c+10)=0 (3a+b+33)m和(a+c+10)都等于0的情况必须要确定这两个多项式的值为非负数吧？

追答

m取不同的数，等式也要成立，所以当系数（3a+b+33)是-5时,此时a+c+10,就不能是-5了。

追问

您的意思是
-5m+a+c+10=0 这个等式不成立吗？请问这是为什么？
以及(3a+b+33)m+(a+c+10)=0 (3a+b+33)m和(a+c+10)都等于0的情况必须要确定这两个多项式的值分别为非负数吧？

追答

无论x取何值，要使kx+b=0永远成立,必须k=0,
如果k≠0，则x只能等于-b/k这一个数

Answer 2

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