高一三角函数证明问题
设a1,a2……,an为任意实数,证明:cosa1cosa2……cosan+sina1sina2·……sinan≤根号2.我是用数学归纳法证明的但是不严谨,有没有其他方法...
设a1,a2……,an为任意实数,证明:cosa1cosa2……cosan+sina1sina2·……sinan ≤根号2.
我是用数学归纳法证明的但是不严谨,有没有其他方法 展开
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2个回答
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1. 在ΔABC中,sinA+sinB+sinC=4cosA/2• cosB/2•cosC/2
证明:因为
4cosA/2• cosB/2•cosC/2=4cosA/2• cosB/2•cos[(π-(A+B))/2]
=4cosA/2• cosB/2•cos[π/2-(A+B)/2]
=4cosA/2• cosB/2•sin(A/2+B/2)
=4cosA/2• cosB/2•(sinA/2•cosB/2+ sinB/2•cosA/2)
=4cosA/2• cosB/2•sinA/2•cosB/2+4cosA/2• cosB/2• sinB/2•cosA/2
=2sinAcos2B/2+2sinBcos2A/2
=2sinA [(1+cosB)/2]+ 2sinB [(1+cosA)/2]
= sinA + sinB + sinA cosB + sinB cosA
= sinA + sinB +sin(A+B)
又因为:A+B+C=π
所以:sin(A+B)=sin(π-C)
=sinC
所以:4cosA/2• cosB/2•cosC/2= sinA+sinB+sinC
原题得证
2. 在ΔABC中,若A+B=120`,求证a/(b+c) +b/(a+c)= 1
证明:因为
a/(b+c) +b/(a+c)= 1
可化简为:[a(a+c)+b(b+c)]/( a+c)( b+c)=1
( a2+ac+b2+bc)/(ab+ac+bc+c2)=1
a2+ac+b2+bc =ab+ac+bc+c2
a2+b2 =ab+c2
c2= a2+b2-ab
又因为:A+B=120` A+B+C=π
所以:C=60`
由余弦定理可知:c2= a2+b2-2abcosC
既有:c2= a2+b2-2abcos60`
所以:c2= a2+b2-ab
原题得证
3. 在ΔABC中,若a•cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2,求证a+c=2b
证明:因为
a•cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2
所以有:a•[(cosC+1)/2]+c •[(cosA+1)/2] =3b/2
a+c+a•cosC + c•cosA =3b
因为:
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
所以:a+c+a•cosC + c•cosA=a+c+2RsinA•cosC+2RsinC•cosA
=a+c+2Rsin(A+C)
又因为:A+B+C=π
所以:B=π-( A+C)
所以:a+c+a•cosC + c•cosA= a+c+2Rsin(A+C)
= a+c+2RsinB
即:a+c+a•cosC + c•cosA= a+c+b =3b
所以:a+c=2b
原题得证
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证明:因为
4cosA/2• cosB/2•cosC/2=4cosA/2• cosB/2•cos[(π-(A+B))/2]
=4cosA/2• cosB/2•cos[π/2-(A+B)/2]
=4cosA/2• cosB/2•sin(A/2+B/2)
=4cosA/2• cosB/2•(sinA/2•cosB/2+ sinB/2•cosA/2)
=4cosA/2• cosB/2•sinA/2•cosB/2+4cosA/2• cosB/2• sinB/2•cosA/2
=2sinAcos2B/2+2sinBcos2A/2
=2sinA [(1+cosB)/2]+ 2sinB [(1+cosA)/2]
= sinA + sinB + sinA cosB + sinB cosA
= sinA + sinB +sin(A+B)
又因为:A+B+C=π
所以:sin(A+B)=sin(π-C)
=sinC
所以:4cosA/2• cosB/2•cosC/2= sinA+sinB+sinC
原题得证
2. 在ΔABC中,若A+B=120`,求证a/(b+c) +b/(a+c)= 1
证明:因为
a/(b+c) +b/(a+c)= 1
可化简为:[a(a+c)+b(b+c)]/( a+c)( b+c)=1
( a2+ac+b2+bc)/(ab+ac+bc+c2)=1
a2+ac+b2+bc =ab+ac+bc+c2
a2+b2 =ab+c2
c2= a2+b2-ab
又因为:A+B=120` A+B+C=π
所以:C=60`
由余弦定理可知:c2= a2+b2-2abcosC
既有:c2= a2+b2-2abcos60`
所以:c2= a2+b2-ab
原题得证
3. 在ΔABC中,若a•cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2,求证a+c=2b
证明:因为
a•cos2 C/2+c cos2 A/2=3b/2
所以有:a•[(cosC+1)/2]+c •[(cosA+1)/2] =3b/2
a+c+a•cosC + c•cosA =3b
因为:
a=2RsinA
b=2RsinB
c=2RsinC
所以:a+c+a•cosC + c•cosA=a+c+2RsinA•cosC+2RsinC•cosA
=a+c+2Rsin(A+C)
又因为:A+B+C=π
所以:B=π-( A+C)
所以:a+c+a•cosC + c•cosA= a+c+2Rsin(A+C)
= a+c+2RsinB
即:a+c+a•cosC + c•cosA= a+c+b =3b
所以:a+c=2b
原题得证
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