Question

在三角形ABC中,设内角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(cosA,sinA),n=(√2-sinA,cosA),

,若|m+n|=2,b=4√2,c=2√a,求三角形ABC的面积

Answer 1

在ΔABC中，设内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cosA,sinA)，向量n=((√2)-sinA,cosA),
(1)若∣m+n∣=2，求角A的大小。(2)若b=4√2，且c=(√2)a,求三角形面积。
**注意：向量的模∣m∣不叫“绝对值”，虽然二者的符号相同；模和绝对值是两个概念。**
解：(1)。m+n=(cosA-sinA+√2，cosA+sinA)；
∣m+n∣=√[(cosA-sinA+√2)²+(cosA+sinA)²]=2
即有cos²A+sin²A+2-2sinAcosA+2(√2)cosA-2(√2)sinA+cos²A+2sinAcosA+sin²A=4
化简得2(√2)(cosA-sinA)=0，即有cosA-sinA=0，故A=45º；
(2)。SΔABC=(1/2)bcsinA=(1/2)×4√2×(√2)a×sin45º=4a×(√2/2)=2(√2)a.........(1)
其中a²=b²+c²-2bccosA=32+2a²-2×(4√2)×(√2)a×(√2/2)=2a²-8(√2)a+32
即有a²-8(√2)a+32=(a-4√2)²=0，故a=4√2；
代入(1)式得SΔABC=16.
希望对你能有所帮助。

追问

c=√2a