Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，

用含y的代数式表示AE；
（3）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（4）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值．
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Answer 1

解：（1）∵∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC
∴四边形DECF为矩形
∴EC=DF=y
∵AC=AE+EC=8
∴AE+y=8 即AE=8-y
（2）矩形DECF中：DE∥BC
∴DE：BC=AE：AC
即x：4=（8-y）：8
∴y=8-2x
∵8-y＞0 即：8-（8-2x）＞0
且0＜DE＜BC 即：0＜x＜4
∴y=8-2x 其中：0＜x＜4
（3）S=DE·DF
=xy
=x（8-2x）
=-2（x-2）² +8
∵-2＜0
∴抛物线开口向下，顶点坐标为（2，8）
∴当x=2（即DE=2，符合0＜x＜4）时，s 有最大值为8.

【很高兴为你解决以上问题，希望对你的学习有所帮助！】

追问

能告诉我为什么DE：BC=AE：AC吗？这一步看不懂

追答

答：∵DE∥BC
∴∠AED=∠C
且∠A公共
∴△AED∽△ACB
∴DE：BC=AE：AC

【望采纳！】