Question

求高一数学题解释：已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+b/2^(x+1)+a是奇函数

已知定义域为R的函数f(x)=-2^x+b/2^(x+1)+a是奇函数
（1）求a，b的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f(t²-2t)+f(2t²-k)＜0恒成立，求k的取值范围。
其实我知道答案啦，但是第二问的答案有些不懂，第二问经过化简后得出不等式3t^2-2t-k＞0，为了使此式恒成立，△＜0，为什么△＜0才使不等式3t^2-2t-k＞0恒成立？求解释

Answer 1

令0=y，可以得到一个关于t的二次函数，其开口向上，若使y>0恒成立，则函数图像与x轴无交点，对应到二次函数即无解，故Δ<0

Answer 2

答：
1）
f(x)=-2^x+b/2^(x+1) +a是R上的奇函数
f(x)=-2^x+(b/2) /2^x +a
所以：
f(-x)=-f(x)
f(0)=-1+b/2+a=0，2a+b=2
所以：
f(-x)=-1/2^x+(b/2)*2^x+a=-f(x)=2^x-(b/2) /2^x-a
所以：
(1-b/2)*2^x+(1-b/2) /2^x -2a=0恒成立
(1-b/2)*(2^x+1/2^x)=2a=2-b=2(1-b/2)恒成立
所以：
1-b/2=0
解得：b=2，a=0

2）
f(x)=-2^x+1/2^x
因为：-2^x和1/2^x都是R上的单调递减函数
所以：f(x)是单调递减函数
f(t²-2t)+f(2t²-k)<0

f(2t²-k)<-f(t²-2t)=f(2t-t²)
所以：2t²-k>2t-t²
所以：k<3t²-2t恒成立
因为：3t²-2t=3(t-1/3)²-1/3>=0-1/3=-1/3
所以：k<-1/3<=3t²-2t
综上所述，k<-1/3

追问

你还是没有回答我的问题呀，为什么△＜0才使不等式3t^2-2t-k＞0恒成立？而且你第一题好像也算错了

追答

g(t)=3t^2-2t-k>0
抛物线g(t)开口向上，恒大于0
表示g(t)与x轴没有交点
也就是表示方程3t^2-2t-k=0没有实数解
所以：判别式=(-2)^2-4*3*(-k)=4+12k<0
解得：k<-1/3

Answer 3

△<0，不等式值域∈（0，∞），恒成立满足对于任意t这个不等式都大于0。或者直接参变分离将K提出来，得到K＜3t^2-2t，此时K小于3t^2-2t的最小值。（如果题目改成不等式有解，k＜3t^2-2t的最大值。）

Answer 4

令0=y关于t二函数其口向若使y>0恒立则函数图像与x轴交点应二函数即解故Δ<0