Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x-2）是偶函数，且对任意x∈R恒有f（3-x）+f（x-1）=2

014，又f（4）=2013，则f（2014）=

Answer 1

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解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x-2）是偶函数，
∴f（-x-2）=f（x-2），
∵∀x∈R，有f（3-x）+f（x-1）=2014，
∴f（4-x）+f（x-2）=2014，
∴f（4-x）+f（-2-x）=2014，
即f（x+4）+f（x-2）=2014，
将x换为x+2，得f（x+6）+f（x）=2014，
将x换为x+6，得f（x+12）+f（x+6）=2014，
∴f（x+12）=f（x），
即函数f（x）的最小正周期为12，
∴f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（-2），
又∵∀x∈R，有f（3-x）+f（x-1）=2014，
令x=-1，得f（4）+f（-2）=2014，
∵f（4）=2013，∴f（-2）=1，
∴f（2014）=1．
故答案为：1．

追问

我看不懂 TAT 从第三行到正周期为12开始。。

追答

就是得知这个函数为偶函数后 进行平移后得数不变