Question

向量问题

向量ob等于e倍向量oa加上k向量oc则e和k有什么关系？

Answer 1

若单位向量a,b的夹角为钝角，|b-ta|(t∈R)最小值为√3/2，且(c-a)*(c-b)=0，求c(a+b)的最大值。
解析：∵单位向量a,b的夹角为钝角
设向量a=(1,0)，向量b=(cosθ,sinθ)
∴π/2<θ<π
|b-ta|=√(b^2+t^2a^2-2tab) =√(1+t^2-2t cosθ) =√[(t-cosθ)^2+sin^2θ]
∵cosθ∈(-1,0)，sinθ∈(0,1)
当t=cosθ时，|b-ta|取最小值√3/2
∴sinθ=√3/2==>θ=2π/3
∴向量b=(-1/2, √3/2)
∵向量(c-a)*(c-b)=0
∴向量(c-a) ⊥(c-b)
如图所示设向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c
∴向量CA=c-a，向量CB=c-b，
由题意，∠AOB=θ=2π/3，∠ACB=π/2
显然当|c-a|=|c-b|，即AB⊥OC时，|c|最大
|AB|=√(OA^2+OB^2-2|OA|*|OB|*cos2π/3)=√(1+1+1)=√3
此时|c|=1/2+√3/2=(1+√3)/2
(c-a)*(c-b)=c^2-c(a+b)+ab=0
∵ab=-1/2，∴c(a+b)=c^2-1/2
c(a+b)最大值=(1+√3)^2/4-1/2=(1+√3)/2