Question

不等式方面的数学题，来高手指点！

已知a b c都是小于1的正数，求证：（1-a)b，（1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4

Answer 1

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a都大于1/4
则(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>（1/4 ）^3＝1/64
因为0<a<1,0<b<1,0<c<1,
故a(1-a)≤[1+(1-a)]^2/4=1/4
同理b(1-b)≤1/4
c(1-c)≤1/4
于是(1-a)b·(1-b)c·(1-c)a>（1/4 ）^3≤1/64
与上面假设得到的结论发生矛盾，故假设不真，原命题得证

Answer 2

用反证法证明：
假设 ：（1-a)b，（1-b)c，(1-c)a中都大于1/4
然后得出雨已知相违背的结论就好了

Answer 3

反证
若 （1-a)b>1/4 （1-b)c>1/4 ，(1-c)a>1/4
又（1-a) b（1-b) c (1-c) a均为正
则 (1-a)a(1-b)b(1-c)c>1/64
有均值不等式 (1-a)a(1-b)b(1-c)c《(1/2)^2(1/2)^2(1/2)^2=1/64
得到矛盾

Answer 4

反证法证明
假设1-a)b，（1-b)c，(1-c)a中均大于1/4
则√（（1-a)b）+√(（1-b)c)+√((1-c)a)>3/2
√（（1-a)b）+√(（1-b)c)+√((1-c)a)≤(1-a+b+1-b+c+1-c+a)/2
与√（（1-a)b）+√(（1-b)c)+√((1-c)a)>3/2 矛盾
∴（1-a)b，（1-b)c，(1-c)a中至少有一个不大于1/4