Question

如图,BD是圆O的直径,E是圆O上的一点,直线AE交BD的延长线于点A,BC⊥AE于C

如图，BD是圆O的直径，E是圆O上的一点，直线AE交BD的延长线于点A，BC⊥AE于C，且∠CBE=∠DBE。（1）试说明：AC是圆O的切线（2）若圆O的半径为2，AE=4根号2，求DE的长

Answer 1

连接OE,则有∠OEB=∠OBE,已知∠CBE=∠DBE，故∠OEB=∠CBE,得OE‖BC, ∠OEA=90°.
∵∠OEA=90°
∴OE⊥AC
又∵E是○O 上的点，那么AC是切线。
2）
∵OE⊥AC
∴AO=√（AE²+OE²）=√[（4√2)²+2²]=9, AB=AO+OB=9+2=11.
∵OE‖BC,∴△AEO∽△ACB,得BC=OE·AB/AO=2×11/9=22/9.
已知∠CBE=∠DBE,所以Rt△BCE∽Rt△BED,则BC/BE=BE/BD,得BE²=BD·BC=4×22/9=88/9.
则DE=√(BD²-BE²)=√(16-88/9)=2√14/3.

Answer 2

连接OE,则有∠OEB=∠OBE,已知∠CBE=∠DBE，故∠OEB=∠CBE,得OE‖BC, ∠OEA=90°.
∵∠OEA=90°
∴OE⊥AC
又∵E是○O 上的点，那么AC是切线。
2）
∵OE⊥AC
∴AO=√（AE²+OE²）=√[（4√2)²+2²]=6, AB=AO+OB=6+2=8.
∵OE‖BC,∴△AEO∽△ACB,得BC=OE·AB/AO=2×8/6=8/3.
已知∠CBE=∠DBE,所以Rt△BCE∽Rt△BED,则BC/BE=BE/BD,得BE²=BD·BC=4×8/3=32/3.
则DE=√(BD²-BE²)=√(16-32/3)=4/3√3.