Question

高中数学题求解。

Answer 1

已知x1>0,x2>0且x1+x2=1，则x1log(2,x1)+x2log(2,x2)的最小值为-1。
（1）x1>0,x2>0且x1+x2=m，求证：x1log(2,x1)+x2log(2,x2)≥-m+mlog(2,m)；
（2）已知xi＞0（i=1，2，3，4）且x1+x2+x3+x4=1，求证：x1log(2,x1)+x2log(2,x2)+ x3log(2,x3)+x4log(2,x4)≥-2；
（3）已知xi＞0（i=1，2，3，4，5，6，7，8）且x1+x2+x3+…+x8=1，类比（2）给出一个你认为正确的结论，并证明你的结论．

log(2,x1)表示以2为底，x2的对数

(1)证明：∵x1>0,x2>0且x1+x2=1，则x1log(2,x1)+x2log(2,x2)的最小值为-1
设x1+x2=m，则m>0
两边同除以m，得x1/m+x2/m=1
∴x1/mlog(2,x1/m)+x2/mlog(2,x2/m)≥-1
==>x1[log(2,x1)-log(2,m)]+x2[log(2,x2)-log(2,m)]≥-m
==>x1log(2,x1)+x2log(2,x2)-(x1+x2)log(2,m)≥-m
==>x1log(2,x1)+x2log(2,x2)-mlog(2,m)≥-m
∴x1log(2,x1)+x2log(2,x2)≥-m+mlog(2,m)；

(2)证明：∵xi＞0（i=1，2，3，4）且x1+x2+x3+x4=1，
设x1+x2=m，x3+x4=n，则m>0，n>0，m+n=1
∴x1/mlog(2,x1/m)+x2/mlog(2,x2/m)≥-1；x3/nlog(2,x3/n)+x4/nlog(2,x4/n)≥-1
∵m>0，n>0，m+n=1
∴mlog(2,m)+nlog(2,n)≥-1；
由(1)可知
x1log(2,x1)+x2log(2,x2)≥-m+mlog(2,m)；x3log(2,x3)+x4log(2,x4)≥-n+nlog(2,m)；
∴x1log(2,x1)+x2log(2,x2)+x3log(2,x3)+x4log(2,x4)≥-(m+n)+mlog(2,m)+nlog(2,n)
∴x1log(2,x1)+x2log(2,x2)+x3log(2,x3)+x4log(2,x4)≥-2

（3）xi＞0（i=1，2，3，4，5，6，7，8）且x1+x2+x3+…+x8=1
则x1log(2,x1)+x2log(2,x2)+x3log(2,x3)+…+x8log(2,x8)≥-3．
证明：设x1+x2+x3+x4=m，x5+x6+x7+x8=n，
∴x1/m+x2/m+x3/m+x4/m=1，x5/n+x6/n+x7/n+x8/n=1，m>0，n>0，m+n=1
∴mlog(2,m)+nlog(2,n)≥-1；
由（2）可知x1/mlog(2,x1/m)+x2/mlog(2,x2/m)+x3/mlog(2,x3/m)+x4/mlog(2,x4/m)≥-2；x5/nlog(2,x5/n)+x6/nlog(2,x6/n)+x7/nlog(2,x7/n)+x8/nlog(2,x8/n)≥-2
∴x1/mlog(2,x1/m)+x2/mlog(2,x2/m)+…+x8/nlog(2,x8/n)≥-2(m+n)+mlog(2,m)+nlog(2,n)≥-3

Answer 2

你把x2写成1-x1 即可，后面自己写

Answer 3

构造函数去求