Question

数学高手进！竞赛题（初一）

1.写出10个连续自然数，它们个个都是合数，这10个数是（）
2.设M是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，则M=（）
3.一直P.p+2，p+6，P+8,P+14都是质数，则这样的质数P共有多少个？（解答题）
4.若p和q都是质数，并且关于x的一元一次方程px+5q=97的根是1，求p^2-q的值。（解答题）
5.小棂用计算器求三个正整数a,b,c的表达式a+b/c的值。他依次按了a,+,b,/,c,=,得到数值11.而当他依次按b,+,a,/,c,=时，惊讶地发现得到的数值是14.这时她才明白计算器是先做除法再做加法的，于是他依次按（，a,+,b,),/,c,=,得到了正确的结果。这个正确结果是什么？

Answer 1

1) 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126
2) 19
3) 显然p为奇数 末位数为1，3，5，7，9 假设p>10
当末位为1时，p+14,末位为5 为合数
当末位为3时，p+2,末位为5 为合数
当末位为5时，p,末位为5 为合数
当末位为7时，p+8,末位为5 为合数
当末位为9时，p+6,末位为5 为合数
全矛盾，说明p<10 依次排除 p只能是5
4） 既然根是1 则 p+5q=97 p=97-5q 假设q=2 则p为合数，说明q必为奇数，97-5q 的结果只能是偶数 ，而既是偶数又是质数的只有2 所以p=2, q=19
p^2-q=2^2-19=-15
5) 依题 a+b/c=11 b+a/c=14 等式两边相加 a+b+（a+b）/c=25
(a+b)*(c+1)/c=25 显然b和a都能被c整除,则25的因数里必然含有（c+1）,那么c不能是奇数，这样的话c+1为偶数将不能成为25的因数。
而欲使c+1成为25的奇数因数，c+1只能是5，15，25 所以c=4，14，24
当c=4时，解得 a+b=20 所以（a+b)/c=20/4=5
当c=4,14时，解得 a和b将出现一个负数与题目不符合 舍弃。

Answer 2

一楼回答正确，补充一点

一、质数

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,113,127……

二、证明当整数M>19时，都能表示为三个互不相等的合数之和

20=4+6+10=4+6+5*2
22=4+6+12=4+6+6*2
24=4+6+14=4+6+7*2
2n=4+6+2(n-5) n>=10

所以，大于19的偶数均能表示为三个互不相等的合数之和

21=4+8+9

23=8+6+9
25=10+6+9
27=6+9+12
29=14+6+9
2n+1=6+9+2(n-7) n>=11

所以，大于19的奇数均能表示为三个互不相等的合数之和

因此，大于19的整数均能表示为三个互不相等的合数之和
而19不表示为三个互不相等的合数之和
所以19就是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数