Question

已知函数f（x）=（1/2)cos²x-√3sinxcosx-（1/2）sin²x+1（x∈R）.

(1)求函数f（x）的最小正周期及在区间[0，π/2]上的最大值和最小值；
(2)若函数f（x）=9/5，x∈[-π/6,π/6]，求cos2x的值.

Answer 1

【参考答案】

f(x)=(1/2)×[(1+cos2x)/2]-(√3 /2)sin2x-(1/2)×[(1-cos2x)/2]+1
=(1/4)+(1/4)cos2x-(√3 /2)sin2x-(1/4)+(1/4)cos2x+1
=(1/2)cos2x-(√3 /2)sin2x+1
=sin(π/6- 2x)+1
=1-sin(2x -π/6)

第一题：
最小正周期是T=2π/2=π
当x∈[0, π/2]时，2x- π/6∈[-π/6,5π/6]，sin(2x- π/6)∈[-1/2,1]
所以 最大值是3/2，最小值是0

第二题：
f(x)=9/5即
sin(2x- π/6)=-4/5
当x∈[-π/6, π/6]时，2x- π/6∈[-π/2, π/6]，
则 cos(2x- π/6)=√[1-(-4/5)^2]=3/5
故cos2x=cos[(2x- π/6)+π/6]
=cos(2x- π/6)cos(π/6)+sin(2x- π/6)sin(π/6)
=(3/5)×(√3 /2)+(-4/5)×(1/2)
=(3√3 -4)/10

欢迎追问。。。

Answer 2

f（x）
=（1/2)cos²x-√3sinxcosx-（1/2）sin²x+1
=(1/2)cos2x-(√3/2)sin2x+1
=cos(2x+π/3)+1
(1)
最小正周期=2π/2=π
x∈[0，π/2]

2x+π/3∈[π/3,4π/3]
cos(2x+π/3)∈[-1,1/2]
cos(2x+π/3)+1∈[0,3/2]
最大值=3/2，最小值=0
（2）
cos(2x+π/3)+1=9/5
cos(2x+π/3)=4/5
x∈[-π/6,π/6]

2x∈[-π/3,π/3]
2x+π/3∈[0,2π/3]
∴sin(2x+π/3)=3/5
cos2x
=cos(2x+π/3-π/3)
=cos(2x+π/3)cosπ/3+sin(2x+π/3)sinπ/3
=(4+3√3)/10
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