Question

假设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，并且对于 ［0,1］上任意一点x都有0≤f(x)≤1,试

假设函数f(x)在闭区间［0,1］上连续，并且对于 ［0,1］上任意一点x都有0≤f(x)≤1,试证明 ［0,1］中必存在一点c，使得f(x)=c.

Answer 1

我想要证明的是:在[0,1]中存在一点c,使得f(c)=c(而不是f(x)=c),证明如下.
若f(0)=0,或f(1)=1则命题已得证,
今设f(0)>0,f(1)<1,建立辅助函数g(x)=f(x)-x
显然,g(x)在[0,1]上连续,并且g(0)=f(0)-0>0,g(1)=f(1)-1<0
由连续函数的界值定理,存在点c∈(0,1),使得g(c)=f(c)-c=0,即f(c)=c,证毕.

追问

是f(c)，是我打错了，谢了