Question

设y=f(x)是定义在区间(a,b)(b＞a)上的函数，若对任意x1,x2属于(a,b),都有|

(x1)-f(x2)|＜=|x1-x2|,则称y=f(x)是区间(a,b)上的平缓函数，1.试证明对任意k属于R,f(x)=x^2+kx+14都不是区间(-1，1)上的平缓函数，2.若f(x)是定义在实数集R上的周期为T=2的平缓函数，试证明对任意x1,x2属于R,|f(x1)-f(x2)|＜=1

Answer 1

这类所谓创新题，得死扣背景中的定义。
1、|f(x1)-f(x2)|=|(x1^2+kx1+14)-(x2^2+kx2+14)|=|(x1^2-x2^2)+k(x1-x2)|
=|x1+x2+k|*|x1-x2| ，
如果 k<0 ，则取 x1=x2 = -1/2 ，因此 x1+x2+k < -1 ，|x1+x2|k|>1 ，
如果 k=0 ，则取 x1=x2=2/3 ，因此 |x1+x2+k|=4/3>1 ，
如果 k>0 ，则取 x1=x2=1/2 ，因此 x1+x2+k>1 ，所以 |x1+x2+k|>1 ，
综上，对任意实数 k ，总存在属于（-1，1）上的 x1、x2 使 |f(x1)-f(x2)| ≤ |x1-x2| 不成立，
所以，对任意实数 k ，函数 f(x)=x^2+kx+14 都不是（-1，1）上的平缓函数。
2、设函数 f(x) 在 x=a 处取最大值 M=f(a) ，在 x=b 处取最小值 m=f(b) ，且 a<b ，
由于函数周期为 2 ，因此可使 |a-b|<2 。
如果 |a-b| ≤ 1 ，则 |f(x1)-f(x2)| ≤ |M-m| =|f(a)-f(b)|≤|a-b|<1 ；
如果 1<|a-b|<2 ，则 |(a+2)-b| <1 ，
因此 则 |f(x1)-f(x2)| ≤|M-m|=|f(a)-f(b)|=|f(a+2)-f(b)| ≤ |(a+2)-b| < 1 ，
所以，总有 |f(x1)-f(x2)| ≤ 1 。