Question

高一数学证明题

若a,b为实数，且a=m^2-2n+π/2,b=k^2-2m+π/6,c=n^2-2k+π/3
证明：a,b,c中至少有一个大于0

Answer 1

反证法。
如果 a<=0，b<=0，c<=0，则 a+b+c<=0. 但是
a+b+c
=(m^2-2n+π/2)+(k^2-2m+π/6)+(n^2-2k+π/3)
=(m^2-2m+1)+(n^2-2n+1)+(k^2-2k+1)+(π-3)
=(m-1)^2+(n-1)^2+(k-1)^2+(π-3) ( π = 3/14...>3 )
>0
这与 a+b+c<=0 矛盾，所以a,b,c中至少有一个大于0。

Answer 2

a+b+c=m^2-2n+π/2+k^2-2m+π/6+n^2-2k+π/3
=（m-1)^2+(k-1)^2+(n-1)^2+π/2+π/6+π/3-3>0

所以必有一个>0 不然a+b+c<=0

Answer 3

a+b+c=m^2-2m+k^2-2k+n^2-2n+π
=（m-1）^2+（k-1）^2+（n-1）^2+π-3≥π-3>0
3个数相加和大于0
则说明至少有一个为正数

Answer 4

a+b+c=m^2-2m+n^2-2n+k^2-2k+π
>m^2-2m+n^2-2n+k^2-2k+3
=(m-1)^2+(n-1)^2+(k-1)^2>=0
得a+b+c>0
假设a,b,c都<=0
则a+b+c<=0
矛盾 假设不成立
故结论成立