Question

如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直

如图1，Rt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F．试判断△DEF的形状，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明．1、画出将△BAD沿BA方向平移BA长，然后顺时针旋转90°后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（AC ∥ KN，如图2）．附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断△DEF的形 状，并说明理由．

Answer 1

△DEF是等腰三角形
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP
∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP


∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP，∠ADB=∠P
∵AD=CE
∴CE=CP
∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠CEN
∴∠CEN=∠ADB
∴∠FDE=∠FED
∴△DEF是等腰三角形．

附加题：△DEF为等腰三角形
证明：过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P
∵Rt△ABC中AB=AC
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN
∵AM⊥BD
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP
∴△BAD≌△ACP
∴AD=CP，∠D=∠P
∵AD=EC，CE=CP
又∵CN=CN
∴△CPN≌△CEN
∴∠P=∠E
∴∠D=∠E
∴△DEF为等腰三角形．

Answer 2

图片：图片

(1).解：△DEF是等腰三角形。 
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°， 
∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP　　　　　　　　　　　　
∵AM⊥BD， 
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP　　　　　　　　　　
∴△BAD≌△ACP（AAS)　　　　　　　　
∴AD=CP，∠ADB=∠P　　　　　　
∵AD=CE，
∴CE=CP　　　　　　　　
∵CN=CN　　　　　　　　　　　　
∴△CPN≌△CEN(SAS)　　　　　　　　　
∴∠P=∠CEN，
∴∠CEN=∠ADB，
∴∠FDE=∠FED　
∴△DEF是等腰三角形。
(3).附加题：△DEF为等腰三角形证明：
过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°， 
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN　　　　　　　　　　　　　
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
∴△BAD≌△ACP　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AD=CP，∠D=∠P，
∵AD=EC，CE=CP，
又∵CN=CN，
∴△CPN≌△CEN　　　　　　　　　　　
∴∠P=∠E，
∴∠D=∠E，
∴△DEF为等腰三角形。

Answer 3

解：△DEF是等腰三角形。
证明：如图，过点C作CP⊥AC，交AN延长线于点P，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB，∠BAD=∠ACP　　　　　　　　　　　　
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°
∴∠ABD=∠CAP　　　　　　　　　　
∴△BAD≌△ACP　　　　　　　　
∴AD=CP，∠ADB=∠P　　　　　　
∵AD=CE，
∴CE=CP　　　　　　　　
∵CN=CN　　　　　　　　　　　　
∴△CPN≌△CEN　　　　　　　　　
∴∠P=∠CEN，
∴∠CEN=∠ADB，
∴∠FDE=∠FED　
∴△DEF是等腰三角形。
附加题：△DEF为等腰三角形证明：
过点C作CP⊥AC，交AM的延长线于点P，
∵Rt△ABC中AB=AC，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠PCN=∠ACB=∠ECN　　　　　　　　　　　　　
∵AM⊥BD，
∴∠ABD+∠BAM=∠BAM+∠CAP=90°，
∴∠ABD=∠CAP，
∴△BAD≌△ACP　　　　　　　　　　　　　　　　　　
∴AD=CP，∠D=∠P，
∵AD=EC，CE=CP，
又∵CN=CN，
∴△CPN≌△CEN　　　　　　　　　　　
∴∠P=∠E，
∴∠D=∠E，
∴△DEF为等腰三角形。