Question

设函数f（x）=x- 1 x ，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是

设函数f（x）=x- 1 x ，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是______．

Answer 1

已知f（x）为增函数且m≠0， 当m＞0，由复合函数的单调性可知f（mx）和mf（x）均为增函数， 此时不符合题意． 当m＜0时，有 mx- 1 mx +mx- m x ＜0?2mx-(m+ 1 m )? 1 x ＜0?1+ 1 m 2 ＜2 x 2 因为y=2x 2 在x∈[1，+∞）上的最小值为2， 所以1+ 1 m 2 ＜2 ， 即m 2 ＞1，解得m＜-1或m＞1（舍去）． 故答案为：m＜-1．