Question

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）定义正数数

已知sin（2α+β）=3sinβ，设tanα=x，tanβ=y，记y=f（x）．（Ⅰ）求f（x）的表达式；（Ⅱ）定义正数数列 { a n }， a 1 = 1 2 ， a 2n+1 =2 a n f( a n )(n∈ N * ) ，数列 { 1 a 2n -2} 是等比数列；（Ⅲ）令 b n = 1 a 2n -2， S n 为{ b n }的前n项和，求使 S n ＞ 31 8 成立的最小n值．

Answer 1

（Ⅰ）∵sin（2α+β）=3sinβ， ∴sin2αcosβ+cos2αsinβ=3sinβsin2αcosβ=sinβ（3-cos2α） tanβ= sin2α 3-cos2α = 2sinαcosα 3-2 cos 2 α+1 = 2sinαcosα 4 sin 2 α+2 cos 2 α = tanα 2 tan 2 α+1 ∴ f(x)= x 2 x 2 +1 （Ⅱ）∵ a 2n+1 =2 a n f(n)=2 a n ? a n 2 a 2n +1 = 2 a 2n 2 a 2n +1 ∴ 1 a 2n+1 =1+ 1 2 a 2n ∴ 1 a 2n+1 -2= 1 2 ( 1 a 2n -2) ∴数列 { 1 a 2n -2} 是以2为首项， 1 2 为公比的等比数列． （Ⅲ）∵ b n = 1 a 2n - 2 n a 1 = 1 2 ∴ S n = 2[1- ( 1 2 ) 2 ] 1- 1 2 =4[1- ( 1 2 ) 2 ] 又 S n ＞ 31 8 即4[1- ( 1 2 ) n ]＞ 31 8 ∴ ( 1 2 ) n ＜ 1 32 ∴n＞5 ∴满足 S n ＞ 31 8 的最小n为6 ．