Question

已知圆：x 2 +y 2 -4x-6y+12=0．（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程；（2）点P（x，y）为圆上任意一点，

已知圆：x 2 +y 2 -4x-6y+12=0．（1）求过点A（3，5）的圆的切线方程；（2）点P（x，y）为圆上任意一点，求 y x 的最值．

Answer 1

（1）由x 2 +y 2 -4x-6y+12=0可得到（x-2） 2 +（y-3） 2 =1，故圆心坐标为（2，3） 过点A（3，5）且斜率不存在的方程为x=3 圆心到x=3的距离等于d=1=r 故x=3是圆x 2 +y 2 -4x-6y+12=0的一条切线； 过点A且斜率存在时的直线为：y-5=k（x-3），即：y-kx+3k-5=0，根据圆心到切线的距离为半径，可得到： r=1= |3-2k+3k-5| 1+ k 2 化简可得到： （k-2） 2 =1+k 2 ∴k= 3 4 ． 所以切线方程为：4y-3x-11=0． 过点A（3，5）的圆的切线方程为：4y-3x-11=0，x=3 （2）由题意知点P（x，y）为圆上任意一点，故可设 y x =k，即要求k的最大值与最小值 即y=kx中的k的最大值与最小值 易知当直线y=kx与圆相切时可取得最大与最小值，此时 d=1= |2k-3| 1+ k 2 ，整理可得到：3k 2 -12k+8=0 得到k= 6+2 3 3 或 6-2 3 3 ∴ y x 的最大值为 6+2 3 3 ，最小值为 6-2 3 3