Question

已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延

已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是CD的中点，过点E作CD的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB；（2）试猜想∠MPB与∠FCM数量关系并证明．

Answer 1

（1）证明：连接MD，
∵点E是CD的中点，ME⊥D，
∴MD=MC，
在△MFC与△MAD中，

MF=MA MC=MD CF=AD

，
∴△MFC≌△MAD（SSS），
∴∠MAD=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=180°-90°=90°，
∴∠BAM=∠MAD-∠BAD=120°-90°=30°，
∵∠ABM=90°，
∴AM=2MB；

（2）解：2∠MPB+∠FCM=180°．
理由如下：由（1）可知∠BMP=∠FMD=∠DMA，
∵∠FCM=∠ADM=∠DMC=2∠BMP，
∴∠BMP=

1

2

∠FCM，
∵∠ABC=90°，
∴∠MPB+∠BMP=90°，
∴∠MPB+

1

2

∠FCM=90°，
∴2∠MPB+∠FCM=180°．