已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(  )A.(2,+∞)B

已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)... 已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是(  )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1) 展开
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叛逆尊2264
2014-09-18 · 超过52用户采纳过TA的回答
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当a=0时,f(x)=-3x2+1=0,解得x=±
3
3
,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;
当a>0时,令f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-
2
a
)=0,解得x=0或x=
2
a
>0,列表如下:
 x (-∞,0) 0(0,
2
a
 
2
a
2
a
,+∞) 
 f′(x)+ 0- 0+
 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∵x→-∞,f(x)→-∞,而f(0)=1>0,
∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.
当a<0时,f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-
2
a
)=0,解得x=0或x=
2
a
<0,列表如下:
 x (-∞,
2
a
 
2
a
2
a
,0)
0(0,+∞)
 f′(x)- 0+ 0-
 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→-∞,
∴存在x0>0,使得f(x0)=0,
∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,
∴极小值f(
2
a
)>0,化为a2>4,
∵a<0,∴a<-2.
综上可知:a的取值范围是(-∞,-2).
故选:C.
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