Question

已知椭圆G经过点P(3，12)，且一个焦点为(?3，0)．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（

已知椭圆G经过点P(3，12)，且一个焦点为(?3，0)．过点（m，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆G于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)
∵椭圆G经过点P(

3

，

1

2

)，且一个焦点为(?

3

，0)．
∴

3

a2

+

1

4b2

＝1，a²-b²=3
∴a²=4，b²=1
∴椭圆G的方程为

x2

4

+y2＝1；
（Ⅱ）由题意知，|m|≥1
当m=±1时，切线l的方程为x=±1，此时|AB|=

3

；
当|m|＞1时，设l为y=k（x-m），代入椭圆方程可得（1+4k²）x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A、B的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2m

1+4k2

，x₁x₂=

4k2m2?4

1+4k2

∵l与圆x²+y²=1相切，∴

|km|

k2+1

＝1，即m²k²=k²+1
∴|AB|=

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