Question

已知函数f（log2x）=x-1x（1）求f（x）的表达式；（2）若不等式2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立

已知函数f（log2x）=x-1x（1）求f（x）的表达式；（2）若不等式2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若f（x）中，x=sinα+cosα，α∈（-π2，0），且f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设t=log₂x，则x=2^t，
即f（t）=2^t-2^-t，
即f（x）=2^x-2^-x．
（2）∵f（x）=2^x-2^-x．
∴不等式等价为2^t（2^2t-2^-2t）+m（2^t-2^-t）≥0，
即2^t（2^t-2^-t）（2^t+2^-t）+m（2^t-2^-t）≥0，
∵t∈[1，2]，
∴2^t-2^-t＞0，
∴不等式等价为2^t（2^t+2^-t）+m≥0，
∴m≥-2^t（2^t+2^-t）=-（2^2t+1），
则m≥5．
（3）x=sinα+cosα

2

sin(α+

π

4

)，α∈（-

π

2

，0），
∴x∈（-1.1），
又f（x）=2^x-2^-x是奇函数和增函数，
则不等式 f（1-m）+f（1-m²）＜0等价为f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
即

1?m＜m2?1 ?1＜1?m＜1 ?1＜m2?1＜1

，
解得1＜m＜

2

．