Question

在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交

在平面直角坐标系xoy中，已知点B（1，0）圆A：（x+1）2+y2=16，动点P在圆A上，线段BP的垂直平分线AP相交点Q，设动点Q的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）过点D（1，0）点且斜率为1的直线与曲线C交于A、B两点，求弦长AB．

Answer 1

（Ⅰ）由已知|QP|=|QB|，Q在线段PA上，所以|AQ|=|QP|=4，|AQ|+|QB|=4
所以点C的轨迹是椭圆，2a=4，a=2，2c=2，c=1，∴b²=3，
所以C点的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．
（Ⅱ），AB的直线方程为：y=x-1．

y＝x?1 x2 4 + y2 3 ＝1

，
整理得：7x²-8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=

8

7

，x₁?x₂=-

8

7

，
|AB|=

1+k2

?

(x1+x2)2?4x1x2

=

2

?

12 2

7

＝

24

7

．