Question

（2014?德州一模）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排列成如图数表，已知图中的第一列

（2014?德州一模）将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排列成如图数表，已知图中的第一列数a1，a2，a5…构成一个等差数列，记为数列{bn}，且b2=4，b5=10，图中每一行正中间一个数a1，a3，a7…构成数列{cn}，其前n项和为Sn．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）若图中从第2行开始，每一行中的数按从左到右的顺序均成等比数列，且公比是同一个正数，已知a19=52，求Sn．

Answer 1

（Ⅰ）设{b_n}的公差为d，
则

b1+d＝4 b1+4d＝10

，解得

b1＝2 d＝2

，∴b_n=2n．
（Ⅱ）设每一行组成的等比数列的公比为q，
由于前n行共有1+3+5+…+（2n-1）=n²个数，且4²＜19＜5²，
∴a₁₇=b₅=10，
∴a₁₉=a₁₇q²=10q²，
又a₁₉=

5

2

，解得q=

1

2

，
∴c_n=

n

2n?2

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=

1

2?1

+

2

20

+…+

n

2n?2

，
∴

1

2

S_n=

1

20

+

2

21

+…+

n

2n?1

，
两式相减可得

1

2

S_n=4-

n+2

2n?1

，
∴S_n=8-

n+2

2n?2

．