Question

在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，B，C的度数成等差数列且b=3，则a+c的最大值是2323

在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A，B，C的度数成等差数列且b=3，则a+c的最大值是2323．

Answer 1

∵△ABC中，A，B，C的度数成等差数列，
∴B=

π

3

，又b=

3

，
∴

b

sinB

=

3

3 2

=2，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

c

sinC

=

b

sinB

=2，
∴a=2sinA，c=2sinC，
∴a+c=2sinA+2sinC
=2sinA+2sin（

2π

3

-A）
=2[sinA+

3

2

cosA-（-

1

2

）sinA]
=2（

3

2

sinA+

3

2

cosA）
=2

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1．
∴a+c的最大值为2

3

．
故答案为：2

3

．