Question

对任意a∈[1,3]都有不等式ax^2+(a-2)x-2>0恒成立，求x的范围

Answer 1

ax^2+(a-2)x-2>0
(ax-2)(x+1)>0
当ax-2>0, x+1>0时，
x>2/a∩x>-1
因为a∈[1,3]
所以x>2
当ax-2<0, x+1<0时,
x<2/a∩x<-1
所以X<-1
即x的取值范围为：(＋∞，2)∪(-1,－∞)

Answer 2

原不等式因式分解得（ax+1)(ax-2)>0,因a∈【1，3】所以解得x>2/a or x<-1/a,因恒成立，只要x大于2/a最大值，或x小于-1/a最小值即可

Answer 3

先拆成a（x^2+x）>2x+2
再分情况，若x^2+x>0，则a>(2x+2)/（x^2+x）恒成立，即(2x+2)/（x^2+x）<1,结果与x^2+x>0两者取并集；若x^2+x<0，则a<(2x+2)/（x^2+x）恒成立...........再两种情况并起来

Answer 4

ax^2+(a-2)x-2>0
(ax-2)(x+1)>0
当ax-2>0, x+1>0时，
x>2/a, x>-1
因为a∈[1,3] ,x>2/a恒成立，
所以x>2 ，与x>-1取交集得x>2。

当ax-2<0, x+1<0时,
x<2/a，x<-1
因为a∈[1,3] ,x<2/a恒成立，
所以x<2/3，与X<-1取交集得X<-1。
即x的取值范围为(2，＋∞)∪(－∞, -1)