Question

已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+1)为奇函数，若f(2)＝1,则f(1）+f(2）+﹉+f(2014）＝？

Answer 1

定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(0+1)=0,且f(-x+1)=-f(x+1)
那么f(-(x+1)+1)=-f(x+1+1)=-f(x+2),
f(-x)=-f(x+2)
f(-(x-1)+1)=-f(x-1+1)
f(2-x)=-f(x)
f(x)=-f(2-x)
f(x)为偶函数，f(-x)=f(x)=-f(x+2)
-f(2-x)=-f(x-2)=f(x)
所以f(x-2)=f(x+2)
那么f(x+2-2)=f(x+2+2)
f(x)=f(x+4)
所以f(x)的周期是4
f(1)=0
f(3)=f(1+2)=-f(1)=0
f(2)=1
f(4)=f(2+2)=-f(2)=-1
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
周期是4
f(1)+f(2)+.....f(2012)=0
原式=f（2013）+f（2014）=f(1)+f(2)=0+1=1

Answer 2

f(x)=f(-x)
f(x+1)=-f(1-x)=-f(x-1)
f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(x)
f(x+4)=f(x+2)+2)=-f(x+2)=f(x)
所以 f(x)是以4为周期的函数
f(x+1)=-f(x-1)
令x=0 f(1)=-f(1) f(1)=0
x=2 f(3)=-f(1)=0
x=3 f(4)=-f(2)=-1
f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0
以4为周期
f(1）+f(2）+﹉+f(2014）＝503*0+f(2013)+f(2014)=0+f(4*503+1)+f(4*503+2)=f(1)+f(2)=1