Question

高中数学不等式证明题

Answer 1

(1)用分析法
(x^2+y^2)^(1/2)>(x^3+y^3)^(1/3)
⇔(x^2+y^2)^3>(x^3+y^3)^2
⇔x^6+y^6+3x^2y^2(x^2+y^2)>x^6+y^6+2x^3y^3
⇔3x^2y^2(x^2+y^2)>2x^3y^3
⇔3(x^2+y^2)>2xy
⇔3(x-y)^2+4xy>0.
上式显然成立，且每一步都可逆，
故原不等式得证.

(2)证法非常多，不少于10种.
以下用三元均值不等式证明:
a+b
=a·1·1+b·1·1
≤(a^3+1^3+1^3)/3+(b^3+1^3+1^3)/3
=(a^3+b^3+4)/3
=(2+4)/3
=2.
∴a+b≤2，原不等式得证。