Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax 2 +bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax 2 +bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD． （1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，△PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意得：OC=4，OD=2，∴DM=OC+OD=6。 ∴顶点M坐标为（2，6）。 设抛物线解析式为：y=a（x﹣2） 2 +6， ∵点C（0，4）在抛物线上，∴4=4a+6，解得a= 。 ∴抛物线的解析式为：y= （x﹣2） 2 +6= x 2 +2x+4。 （2）如答图1，过点P作PE⊥x轴于点E． ∵P（x，y），且点P在第一象限，∴PE=y，OE=x。 ∴DE=OE﹣OD=x﹣2． ∴S=S 梯形PEOC ﹣S △ COD ﹣S △ PDE = （4+y）?x﹣ ×2×4﹣ （x﹣2）?y=y+2x﹣4。 将y= x 2 +2x+4代入上式得：S= x 2 +2x+4+2x﹣4= x 2 +4x。 在抛物线解析式y= x 2 +2x+4中，令y=0，即 x 2 +2x+4=0，解得x=2± ． 设抛物线与x轴交于点A、B，则B（2+ ，0）。 ∴0＜x＜2+ ． ∴S关于x的函数关系式为：S= x 2 +4x（0＜x＜2+ ）。 （3）存在。若以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，可能有以下情形： ①OD=OP。 由图象可知，OP最小值为4，即OP≠OD，故此种情形不存在。 ②OD=OE。 若点E在y轴正半轴上，如答图2所示，此时△OPD≌△OPE。 ∴∠OPD=∠OPE，即点P在第一象限的角平分线上。 ∴直线PE的解析式为：y=x。 若点E在y轴负半轴上，易知此种情形下，两个三角形不可能全等，故不存在。 ③OD=PE。 ∵OD=2，∴第一象限内对称轴右侧的点到y轴的距离均大于2。 ∴点P只能位于对称轴左侧或与顶点M重合。 若点P位于第一象限内抛物线对称轴的左侧，易知△OPE为钝角三角形，而△OPD为锐角三角形，则不可能全等。 若点P与点M重合，如答图3所示，此时△OPD≌OPE，四边形PDOE为矩形。 ∴直线PE的解析式为：y=6。 综上所述，存在以O、P、E为顶点的三角形与△OPD全等，直线PE的解析式为y=x或y=6。

试题分析：（1）首先求出点M的坐标，然后利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。 （2）如答图1所示，作辅助线构造梯形，利用S=S 梯形PEOC ﹣S △ COD ﹣S △ PDE 求出S关于x的表达式；求出抛物线与x轴正半轴的交点坐标，得到自变量的取值范围。 （3）由于三角形的各边，只有OD=2是确定长度的，因此可以以OD为基准进行分类讨论： ①OD=OP，因为第一象限内点P到原点的距离均大于4，因此OP≠OD，此种情形排除。 ②OD=OE．分析可知，只有如答图2所示的情形成立。 ③OD=PE．分析可知，只有如答图3所示的情形成立。