Question

如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急

如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施？

Answer 1

连接OA′，OA．设圆的半径是R米，则ON=（R-4）米，OM=（R-18）米． 根据垂径定理，得AM= 1 2 AB=30米， 在直角三角形AOM中， ∵AO=R米，AM=30米，OM=（R-18）米， 根据勾股定理，得：R 2 =（R-18） 2 +900， 解得：R=34． 在直角三角形A′ON中，根据勾股定理得A′N= 34 2 - 30 2 =16米． 根据垂径定理，得：A′B′=2A′N=32＞30． ∴不用采取紧急措施． https://iknow-pic.cdn.bcebos.com/dc54564e9258d109b8f50b03d258ccbf6c814d68?x-bce-process=image/quality,q_85

Answer 2

题目
如图所示，有一座拱桥圆弧形，它的跨度AB为60米，拱高PM为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时，是否采取紧急措施？
解析
【考点提示】
由题意可知，本题需要借助垂径定理和勾股定理进行分析，想一想这两个定理的内容分别是什么？
【解题方法提示】
设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA′，OP，设圆弧所在圆的半径为x米，则OA=OA′=OP=x，你能由此对题目解答吗？
根据垂径定理可知AM=BM=12AB，将OM的长用含x的式子表示出来，在Rt△AOM中，依据勾股定理计算出x的值，进而得到ON的长度，在Rt△A′ON中，由勾股定理求出A′N的长度，则A′B′=2A′N，若A′B′的长度大于30米，则不需要采取紧急措施，反之，则需要采取紧急措施.
解答
如下图所示，设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA，OA′，OP，设圆弧所在圆的半径为x米，则OA=OA′=OP=x.
由垂径定理可知AM=BM，A′N=B′N.
∵AB=60，
∴AM=12AB=30.
∵PM=18，
∴OM=OP-PM=x-18，
∴在Rt△AOM中，由勾股定理得OA2=OM2+AM2，即x2=(x-18)2+302，解得x=34.
∵PN=4，
∴ON=OP-PN=34-4=30，
∴在Rt△A′ON中，由勾股定理得A′N=OA'2−ON2−−−−−−−−−−√=342−302−−−−−−−−√=16，
∴A′B′=2A′N=32＞30，
∴不需要采取紧急措施.