Question

已知函数f（x）=2x?12x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域； （2）①判断并证明函数f（x）的奇偶性

已知函数f（x）=2x?12x+1（x∈R）．（1）求函数f（x）的值域； （2）①判断并证明函数f（x）的奇偶性；②判断并证明函数f（x）的单调性； （3）解不等式f（1-m）+f（1-m2）＜0．

Answer 1

（1）f（x）=

2x?1

2x+1

=

2x+1?2

2x+1

＝1?

2

2x+1

（x∈R）．
∵2^x＞0，∴2^x+1＞1，
则0＜

1

2x+1

＜1，0＜

2

2x+1

＜2，
-2＜-

2

2x+1

＜0，
-1＜1-

2

2x+1

＜1，
即-1＜y＜1，
则函数f（x）的值域为（-1，1）；    
（2）①∵f（x）=

2x?1

2x+1

，∴f（-x）=

2?x?1

2?x+1

=

1?2x

1+2x

=-

2x?1

2x+1

=-f（x），
则函数f（x）为奇函数；
②f（x）=

2x?1

2x+1

=

2x+1?2

2x+1

＝1?

2

2x+1

（x∈R）．
∵y=2^x是增函数，
∴y=2^x+1是增函数，y=

1

2x+1

是减函数，y=-

2

2x+1

是增函数，
y=1-

2

2x+1

是增函数，
故函数f（x）的单调递增；   
（3）∵函数f（x）是奇函数且函数单调递增，
∴不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0等价为f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
即1-m＜m²-1，
则m