Question

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求∠OAD的度数；（2）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

解：（1）∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD=60°，OC=CD，
∴三角形COD是等边△OCD，
∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，
∴∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°；

（2）①根据旋转的性质，CO=CD，∠OCD=60°，所以△COD为等边三角形；
②当α=150°时，∠ADC=150°，而∠ODC=60°，所以∠ODA=90°，
即△AOD为直角三角形；
③∠AOC=360°-110°-α=250°-α，∠AOD=∠AOC-60°=190°-α，
∠ADC=∠BOC=α，所以∠ODA=α-60°，
△AOD为等腰三角形，
当AO=OD时，∠AOD+2∠ODA=180°，
即190°-α+2×（α-60°）=180°，解得α=110°，
当AO=AD时，∠AOD=∠ODA，即190°-α=α-60°，解得α=125°，
当OD=AD时，2×（190°-α）+α-60°=180°，解得α=140°
所以当α为110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形．