Question

（2011?东城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是

（2011?东城区二模）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=5，D，E分别为BC，BB1的中点，四边形B1BCC1是边长为6的正方形．（Ⅰ）求证：A1B∥平面AC1D；（Ⅱ）求证：CE⊥平面AC1D；（Ⅲ）求二面角C-AC1-D的余弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接A₁C，与AC₁交于O点，连接OD．
因为O，D分别为AC₁和BC的中点，
所以OD∥A₁B．
又OD?平面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
所以A₁B∥平面AC₁D．（4分）
证明：（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，又AD?平面ABC，
所以BB₁⊥AD．
因为AB=AC，D为BC中点，
所以AD⊥BC．又BC∩BB₁=B，
所以AD⊥平面B₁BCC₁．
又CE?平面B₁BCC₁，
所以AD⊥CE．
因为四边形B₁BCC₁为正方形，D，E分别为BC，BB₁的中点，
所以Rt△CBE≌Rt△C₁CD，∠CC₁D=∠BCE．
所以∠BCE+∠C₁DC=90°．
所以C₁D⊥CE．
又AD∩C₁D=D，
所以CE⊥平面AC₁D．                （9分）
解：（Ⅲ）如图，以B₁C₁的中点G为原点，建立空间直角坐标系．
则A（0，6，4），E（3，3，0），C（-3，6，0），C₁（-3，0，0）．
由（Ⅱ）知CE⊥平面AC₁D，所以

CE

＝(6，?3，0)为平面AC₁D的一个法向量．
设n=（x，y，z）为平面ACC₁的一个法向量，

AC

＝(?3，0，?4)，

CC1

＝(0，?6，0)．
由

n? AC ＝0 n? CC1 ＝0.

可得