Question

（2013?历城区三模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=2，AB=4，BC=5，点P为AB边上一动

（2013?历城区三模）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=2，AB=4，BC=5，点P为AB边上一动点，连接PC、PD，若△PCD为直角三角形，则满足条件的点P有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

解：过点D作DE⊥BC于点E，
∵直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴DE=AB=4，BE=AD=2，
∴CE=BC-BE=3，
∴CD=5；
①当∠CPD=90°时，
则∠APD+∠BPC=90°，
∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPC，
∵AD∥BC，∠BAD=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∴△APD∽△BCP，
∴

AP

BC

＝

BP

AD

，
设AP=x，
则BP=AB-AP=4-x，
则

x

5

＝

2

4?x

，
此时无解；
②若∠PDC=90°，
则PD²=AD²+AP²=4+x²，PC²=PB²+BC²=25+（4-x）²，
∵CD²+PD²=PC²，
∴4+x²+25=25+（4-x）²，
解得：x=1.5．
故选A．