已知a＞0，b＞0，c＞0且a，b，c不全相等．求证：bca+acb+abc＞a+b+c
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证明：方法一：（分析法）要证
+
+
＞a+b+c，
只要证
＞a+b+c．
∵a，b，c＞0，
只要证（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）2+（ac）2≥2abc2，
（ac）2+（ab）2≥2a2bc，（bc）2+（ab）2≥2ab2c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[（bc）2+（ac）2+（ab）2]＞2abc2+2a2bc+2ab2c，
即（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c）成立．
∴
+
+
＞a+b+c成立．
方法二：（综合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴
+
≥2
=2c，
+
≥2
=2b，
+
≥2
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
只要证
| (bc)2+(ac)2+(ab)2 |
| abc |
∵a，b，c＞0，
只要证（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c），
由公式知（bc）2+（ac）2≥2abc2，
（ac）2+（ab）2≥2a2bc，（bc）2+（ab）2≥2ab2c．
∵a，b，c不全相等，上面各式中至少有一个等号不成立，三式相加得：
2[（bc）2+（ac）2+（ab）2]＞2abc2+2a2bc+2ab2c，
即（bc）2+（ac）2+（ab）2＞abc（a+b+c）成立．
∴
| bc |
| a |
| ac |
| b |
| ab |
| c |
方法二：（综合法）∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴
| bc |
| a |
| ac |
| b |
|
| bc |
| a |
| ab |
| c |
|
| ac |
| b |
| ab |
| c |
|
