Question

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1，记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，求函数h（x）=x2f（x）+x[f（x）]2的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1 3x?3≤1

 ①，或

x＜1 1?x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤

4

3

，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集M为[0，

4

3

]．
（Ⅱ）由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵当x∈M∩N时，
f（x）=1-x，h（x）=x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]
=

1

4

-（x-

1

2

）²≤

1

4

，当且仅当x=

1

2

时，取得最大值

1

4

．
则函数的最大值为

1

4

．