Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．（Ⅰ）求证：BD

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E是PC中点，F为线段AC上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥FE；（Ⅱ）试确定点F在线段AC上的位置，使EF∥平面PBD，并说明理由．

Answer 1

解答：证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD． 又四边形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又EF?平面PAC，
所以BD⊥EF．…（7分）
（Ⅱ）：设AC与BD交于O，当F为OC中点，即AF=

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AC时，EF∥平面PBD．理由如下：
连接PO，
因为EF∥平面PBD，EF?平面PAC，平面PAC∩平面PBD=PO，
所以EF∥PO．
在△POC中，E为PC的中点，
所以F为OC中点．
在△POC中，E，F分别为PC，OC的中点，
所以EF∥PO．
又EF?平面PBD，PO?平面PBD，
故EF∥平面PBD．…（14分）