Question

求抛物线y =x^2与直线y=x+2围成的图形分别绕x轴和绕y轴旋转所得的旋转体的体积

求解答过程和画图

Answer 1

y=x+2=x^2

交点（2,4）（-1,1）

绕x轴旋转

就是y=x+2 绕x旋转围成的体积减去y=x^2围城成的体积

第一个是截面积是梯形=(4+1)x（2--1）/2=7.5

v1=7.5^2pai=56.25π

第二个是截面积积分f（y）dx=x^3/3 x从-1到2积分 求得面积=3

v2=3^2pai=9π

v1-v2=47.25pai

绕y旋转

相当于y=x^2 跟y轴 跟y=x+2 围成的面积绕y轴旋转一圈

就是就是y=x^2 绕y旋转围成的体积减去y=x-2围城成的体积

第一个截面积积分y=4-x^2   f（y）dx=4x-x^3/3 x从0到2积分 求得16/3

v1=(16/3)^2pai=256/9π

第二个是截面积是三角形=(4-2)x（2）/2=2

v2=2^2pai=4π

v1-v2=220/9pai

Answer 2

y=x^2

y=x+2

x^2=x+2   x^2-x-2=0   x=-1或者x=2

在-1到2之间，求2π*（x^2-x-2)的定积分

2π（x^3/3-x^2/2-2x)

2π[（8/3-2-4)-(-1/3-1/2+2)

化简即可。