Question

大学高代。。。。 f（x）为多项式，用x-1除时余式为3，用x-3时余式为5，则用（x-3）（x-

大学高代。。。。
f（x）为多项式，用x-1除时余式为3，用x-3时余式为5，则用（x-3）（x-1）除时余式是多少

Answer 1

这个用多项式乘法来做吧。
由已知：
f(x)=(x-1)p(x)+3、f(x)=(x-3)q(x)+5
容易判断，p(x)与q(x)的次数相同。
——————————————————————————
若p(x)的次数为0次，那么q(x)的次数也为0次，
此时设它们为p、q
于是
p(x-1)+3=q(x-3)+5
px+3-p=qx+5-3q
于是
p=q
3-p=5-3q
从而p=q=1即可满足条件。
此时f(x)=x+2
于是，f(x)÷[(x-1)(x-3)]的余式即为x+2
——————————————————————————
假若p(x)的次数＞0，它÷(x-3)的余式一定为0次，
于是可设p(x)=(x-3)m(x)+a
同理可设q(x)=(x-1)n(x)+b
于是
(x-1)[(x-3)m(x)+a]+3=(x-3)[(x-1)n(x)+b]+5
于是
(x-1)(x-3)m(x)+a(x-1)+3=(x-3)(x-1)n(x)+b(x-3)+5
(x-1)(x-3)m(x)+ax-a+3=(x-3)(x-1)n(x)+bx-3b+5
于是由次数定理即可知，
m(x)=n(x)
a=b

3-a=5-3b
于是a=b=1
从而
f(x)=(x-1)(x-3)m(x)+x+2
于是，f(x)÷[(x-1)(x-3)]的余式即为x+2
——————————————————————————
实际上，可以不考虑p(x)的次数为0次还是＞0次，无所谓的，，，，

【经济数学团队为你解答！】

Answer 2

答案等于1